Unità didattica di matematica:

I monomi

Requisiti: - Conoscere gli insiemi numerici e le loro proprietà.
- Conoscere le quattro operazioni e le loro proprietà.
- Conoscere e saper operare con le potenze nell'insieme dei numeri reali (R).
Obiettivo:Comprendere l'importanza della notazione letteraria e del calcolo letterale.
Target:Studenti del biennio.

Il monomio: chi è costui?


Il monomio è il prodotto di quanti si vogliano fattori numerici e letterali.
Attenzione: gli esponenti dei fattori letterali devono appartenere a N {0, 1, 2, 3, ...}.

Verifichiamo insieme

Fai click su ciascuna espressione che ritieni sia un monomio.

2a+b
3
4a-3b
x2y
2x/3y
(7/2)xyz
-4
(-2/7)x2a2(-y)
21/2x2
(xy)1/2

Forma normale del monomio

Osserva attentamente i seguenti esempi:

1.) (-2)(a)(-5)(b2) = (-2)(-5)(a)(b2) = +10ab2
2.) 4(b)(7) = 4(7)(b) = 28b
3.) (2/5)(a2)(-b2)(1/3)(b) = (2/5)(-1)(1/3)(a2)(b2)(b) = -(2/15)a2b3

Come puoi osservare, applicando la proprietà associativa della moltiplicazione, abbiamo sostituito ai fattori numerici il loro prodotto e ad ogni prodotto di fattori letterali, di eguale base, la corrispondente potenza.

Quindi

Ogni monomio può essere scritto come prodotto di una solo fattore numerico e di fattori letterali di basi diverse.
Questa è la forma normale di un monomio.

Verifichiamo insieme

Fai click su ciascun monomio che ritieni sia scritto in forma normale.

-2x2yx3
(4/7)xy
2(-5)(a2)(3)
2(a)(4)
4ba



Attenzione!!!
Tutto ciò che sarà di seguito esposto è da intendersi riferito ad un monomio scritto in forma normale

Parti di un monomio

In un monomio distinguiamo:

a.) il fattore numerico con il proprio segno = coefficiente
b.) il prodotto dei rimanenti fattori = parte letterale

Convenzioni


Grado di un monomio

Attenzione!!!
Al monomio nullo non si attribuisce alcun grado

Verifichiamo insieme

Fai click sulla risposta che ritieni corretta.
24a3b8cha grado complessivo8
ha grado complessivo11
ha grado complessivo12
ha grado complessivo16

... atto secondo
continua...

Monomi simili

Due o più monomi si dicono simili se hanno uguale tutta la parte letterale.

Verifichiamo insieme

Fai click su ciascuna risposta che ritieni corretta.
7x3yz2è simile a7x4yz2
è simile a-(1/3)x3yz2
è simile a5yx3z2
è simile a4y3xa

Monomi eguali

Due o più monomi sono uguali se hanno lo stesso coefficiente e la stessa parte letterale.

Verifichiamo insieme

Fai click sulla risposta che ritieni corretta.
(2/3)x2yz3b2è uguale a(-2/3)x2y3z3b2
è uguale a7x2yz3b2
è uguale a(2/3)x2yz3b2

Rifletti

e fai click sulla risposta corretta...

Due monomi uguali sono anche simili? Vero o Falso

Monomi opposti

Due o più monomi sono opposti se

Verifichiamo insieme

Fai click sulla risposta che ritieni corretta.
-3x2yz2è opposto a3x2yz
è opposto a2x2yz2
è opposto a-2x2yz2
è opposto a3x2yz2

Rifletti

e fai click sulla risposta corretta...

Due monomi opposti sono anche uguali? Vero o Falso
Due monomi opposti sono anche simili? Vero o Falso

... atto terzo
continua...

Operazioni con i monomi

Prima di iniziare questa sezione ti invitiamo a ritornare all'inizio di questo documento per rileggere attentamente la definizione di monomio.
Ti invitiamo a cliccare sulla parola "letterali"

Prova!

Bene. Avrai memorizzato che ai fattori letterali possono essere attribuiti solo valori razionali.
Sapresti individuare l'importanza di tale vincolo?
Fai click sulla risposta che ritieni esatta...
Perchè altrimenti non potremmo effettuare le operazioni con i monomi
Perchè altrimenti avremmo un numero non reale

Somma di monomi

Dati i monomi
3x2 e -5x3

si definisce somma di essi, la funzione che associa ai due monomi l'espressione:
3x2+(-5x3) o anche 3x2-5x3

Osserviamo che in generale, la somma di due (o più) monomi non è un monomio, ma una funzione razionale.
Quindi la somma algebrica di due o più monomi, non si può che indicare scrivendo uno dopo l'altro i monomi addendi, ciascuno con il proprio segno.
Esempio:
Dati i monomi
5x2y; -3ax; (-4/5)xy2; 7ab
la loro somma è:
5x2y+(-3ax)+(-4/5)xy2+7ab
o più semplicemente
5x2y-3ax-4/5xy2+7ab

Ma

la somma di due o più monomi simili è un monomio che ha come coefficiente la somma algebrica dei coefficienti dei monomi addendi, e come parte letterale la parte letterale comune a tutti i monomi.
Esempio:
Dati i monomi simili:
3x2y; -4x2y; 7x2y; -10x2y
la loro somma è
3x2y+(-4x2y)+7x2y+(-10x2y)
o più semplicemente
3x2y-4x2y+7x2y-10x2y
ed ancora, per quanto detto prima,
(3-4+7-10)x2y = -4x2y (monomio somma)
In ciò consiste la cosiddetta
Riduzione dei monomi simili

Osserva

7x2y+(-7x2y) =
= 7x2y-7x2y =
= (7-7)x2y =
= 0x2y =
= 0
La somma algebrica di monomi opposti è il monomio nullo.

Esercizio (sulla riduzione di monomi simili)

Passi da rispettare:
Esercizio 1

Esercizio 2

Verifichiamo insieme

La somma dei segueni monomi
7xy - 4x2y + 5xy + 8x2y +3xy
è:
(fai click sull'espressione che ritieni esatta)
= (7 + 5 + 3)xy +(- 4 +8)x2y = 15xy + 4x2y
= (7 - 4 + 5 + 8 + 3)x2yxy = 21x2yxy

Moltiplicazione di due o più monomi

Il prodotto di due o più monomi, non nulli, è un monomio che ha:
Alla fine occorre trasformarlo in forma normale
Esercizio 1

Esercizio 2

Verifichiamo insieme

Fai click sul risultato che ritieni esatto:
[(2/3)a2b][(-9/8)a3b](4a4) =
= -3a9b2
= -3a24b

Elevamento a potenza di monomi

Elevando ad una n-esima potenza un monomio, con n naturale, si ottiene un monomio che ha:
Esempio 1:
(-5x2y3a)3 =
(-5)3(x2)3(y3)3(a)3 =
-125x6y9a3
Esempio 2:
[(2/3)x5y8z4]5 =
(2/3)5(x5)5(y8)5(z4)5 =
(32/243)x25y40z20

Verifichiamo insieme

Fai click sul risultato che ritieni esatto:
(2 x4 y3)5 =
= 32 x9y8
= 32 x20y15
= 32 xy2

Divisione di monomi

Dati due monomi (dividendo, divisore), non nulli, si definisce quoziente dei due, una espressione che ha:
Esempio 1

Esempio 2

Osserva:

i due monomi non presentano le stesse lettere: nel monomio 7x8y2z4 non è presente il fattore letterale "a", mentre nel monomio (-3)x8ya non è presente il fattore "z".
Facciamo in modo che essi presentino le stesse lettere.
Come?
Moltiplicamo ogni monomio per la lettera mancante elevata a zero.
Sarai d'accordo che ciò non altera i monomi (infatti qualsiasi numero elevato a 0 è uguale a 1) e quindi non altera l'operazione.
Avremo così:
7x8y3z4a0 : (-3)x8yz0a
Prima di procedere è importante notare che si deve rispettare l'ordine nella sottrazione degli esponenti delle lettere:
[7/(-3)]x8-8y3-1z4-0a0-1 =
= (-7/3)x0y2z4a-1 =
= (-7/3)y2z4a-1
sottoforma di frazione = (-7y2z4)/(3a)
Attenzione! Questo risultato non è un monomio, perchè l'esponente del fattore "a" è negativo (per ulteriori informazioni ritorna alla definizione di monomio).

Quindi:

non sempre la divisione tra due monomi dà per quoziente un altro monomio; quando invece accade, i monomi si dicono divisibili. Per essere più rigosi:
dati due monomi si dice che il primo (dividendo) è divisibile per il secondo (divisore) se esiste un terzo monomio (quoziente) tale che moltiplicato per il secondo dà per prodotto il primo (proprietà della divisione).
Riprendiamo l'esempio 1:

da questo si deduce:
(5xy6z)(2x3yz) = (5*2)xx3y6yzz = 10x4y7z2.

In particolare:

  1. ogni monomio è divisibile per qualsiasi numero diverso da 0
    esempio 1:
    (-4/5)a3b4 : (-7) = (-4/5)a3b4 : (-7)a0b0 = (-4/5)(-1/7)a3b4 = (4/35)a3b4 (è un monomio!)
    (i passaggi intermedi si possono evitare!!!)
    esempio 2:
    4x2y2 : (-2/5) = 4(-5/2)x2y2 = - 10x2y2 (è un monomio!)
  2. il quoziente di due monomi simili è un monomio (in cui mancano sempre le parti letterali). Infatti:
    esempio 1:
    (7/2)x2y3z2 : (-4)x2y3z2 = (7/2)(-1/4)x2-2y3-3z2-2 = (-7/8)x0y0z0 = -7/8
    (i passaggi intermedi si possono evitare!!!)
    esempio 2:
    (-20/3)a3b7c4 : 5a3b7c4 = (-20/3)(1/5) = -4/3
  3. il quoziente di due monomi uguali è 1.
    esempio:
    4x2y2 : 4x2y2 = (4:4)x2-2y2-2 = 1x0y0 = 1
  4. il quoziente di due monomi opposti è -1.
    esempio:
    -4x2y2 : 4x2y2 = (-4:4)x2-2y2-2 = -1x0y0 = -1

Verifichiamo insieme:

  1. Fai click sul risultato che ritieni esatto:
    20x3y : (-5x2y) =
    = 4xy
    = -4xy
    = -4x
    = 4x
  2. Fai click sul risultato che ritieni esatto:
    (2/5)x4y4 : [(-2/5)xz2] =
    = x3y4z-2
    = -x3y3z
    = x5y4z2
    = -x3y4z-2
  3. Il monomio 20a8b6 per quale monomio è divisibile?
    Fai click sul monomio che ritieni esatto
    = 5a3b
    = 4a9b3

... atto quarto
continua...
Sei finalmente giunto al termine di questa unità didattica.

Hai potuto ripassare le principali regole che disciplinano i monomi e le operazioni tra di essi.

Nel corso del ripasso hai avuto anche l'occasione di verificare le tue conoscenze tramite piccoli esercizi, al termine dei quali hai ottenuto un determinato punteggio. Se hai completato tutti gli esercizi puoi ricevere una valutazione globale premendo il pulsante qui sotto.


... atto quinto